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利用不定方程巧解一类题

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《数理化解题研究》2∞7年第5期数学篇5======================================皇===========：：：：：==：=：：：：：：=：==：：：==：：：：：：：：：==：：：==：：：：：：=：=：：：浙江省临海市回浦中学()单庆权●近日阅读了《数理化解题研究》的文[1]，在感叹方法巧妙的同时，我发现诸多类似问题都可以化为一种模型而获巧妙的解法．先看题1求方程髫l+菇2+菇，=10的正整数解的个数．解析求方程菇，4-菇：+菇，=10的正整数解的个数可处理成以下这种模型：把10个小球一字排开，中间有9个空位，若从中任取2个空位插上挡板，则可把这10个小球分成3份，每份至少1个小球．如果菇。，名：，茹，分别对应取其中一份，挡板放法的种数恰好就是方程菇。+菇：+石，= lo的正整数解的个数，即焉=36个正整数解．题2把10个相同的球，分给3个人，每人至少1个，问有多少种分法?解设3个人分到的球数分别是菇。，石：，搿，个(菇。≥1，石2≥1，戈3≥l，并l，菇2，戈3∈N’)，贝0戈l4-z2+龙3=10的解的个数为焉=3，故有36种分法．注：相同元素分配给不同的人，每人至少一个的问题，可借助不定方程去解决．题3把10个相同的球，分给3个人，问有多少种分法?解设3个人分到的球数分别是菇。，茗：，菇，个(菇。≥0，石2≥o，菇3≥O，戈1，茗2，菇3∈N)，贝0石l+茗2+茹3=10①．求①的自然数解的个数不能直接用挡板法去做，但其等价于(戈l+1)+(X2+1)+(菇3+1)=13(爹．设石l+l=茗i，X2+1=菇：，菇3+1=戈：，则①等价于戈l+戈2+菇3=13(菇l芝1，菇2≥1，石3≥1，省l，髫1，石l∈N+)③．此时③符合题1的模型．而①、②、③解的个数是一样的，所以分法有c2：=66种．注：若建立的不定方程不符合题1的模型，则可先处理成题1的形式．题4把10个相同的球，分给3个人，每人至少2个，问有多少种分法?解设三个人分到的球数分别是菇。，菇：，菇，个(石。≥2，石2≥2，菇3≥2，石l，戈2，茗3∈N)，贝Ⅱ石l+菇2+菇3=10①．求①的不小于2的正整数解的个数，不能直接用挡板法去做，但其等价于(茗1—1)+(茹2一1)+(菇3—1)=7②．设戈。一1=菇：，石：一1=茗：，省3一l=石；，贝U①等价于菇1+菇2-I-菇3=7(茗1≥1，石2芝1，菇3≥l，石i，菇i，茗i∈Ⅳ+)③．此时③符合题1的模型．而①、②、③解的个数是一样的，所以分法有C：=15种．题510个相同的球，分给编号为l、2、3的3个人，要求每个人的球数不小于自己的编号．问有多少种分法?解设3个人分到的球数分别是石。，菇：，石，个(菇。≥1，髫2≥2，菇3≥3，菇l，茗2，菇3EN+)，贝0菇l+石2+髫3=10①．求①的限定条件下的正整数解的个数，不能直接用挡板法去做，但其等价于搿1+(z2—1)+(石3-2)=7(参．设咒1=石i，戈2一l=名i，茹3—2=菇i，则①等价于菇1+菇2+茹3=7(菇l≥1，石2≥l，菇3≥l，z1，菇2．髫3∈N’)③．此时③符合题l的模型．而①、②、③解的个数是一样的，所以分法有C；=21种．题6三项式(口+6+c)10的展开式中一共有多少项?解设展开式的每一项为口q铲矿3，则菇。+石2+省3=10(菇l≥0，茄2≥O，菇3≥O，菇l，菇2，菇3EN)．．·．解的个数为c22=66．由以上几题可见，题l起着穿针引线的作用，可谓一线串珠．相同元素的分配问题，可通过转化，利用不定方程正整数解的个数模型来处理．参考文献不妨预先放人“一l”个小球．数理化解题研究·2005，5．